O número identifica o estabelecimento no sistema de saúde e aparece rotineiramente em documentos assistenciais, guias e sistemas de faturamento. Normas específicas de cada tipo de serviço podem exigir a identificação do estabelecimento nos documentos que ele emite.
Na prática, incluir o CNES no cabeçalho de laudos e relatórios é padrão de mercado e facilita a vida de quem recebe o documento.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria de Consolidação nº 1, de 28 de setembro de 2017 — Ministério da Saúde.
Consolida as normas sobre os direitos e deveres dos usuários da saúde, a organização e o funcionamento do SUS; o art. 364 atribui a cada estabelecimento a responsabilidade pelo cadastro e pela manutenção dos dados no CNES.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.