Depende do risco de cada atividade: luvas, máscara, óculos ou protetor facial, avental e, conforme o procedimento, gorro e calçado fechado.
O fornecimento, o treinamento e a fiscalização do uso são obrigações tratadas nas normas de segurança do trabalho, entre elas a NR 32 para serviços de saúde.
Fontes oficiais desta resposta
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Norma Regulamentadora nº 32 (NR 32) — Ministério do Trabalho e Emprego.
Segurança e saúde no trabalho em serviços de saúde: riscos biológicos, químicos e radiações ionizantes, e medidas de proteção do trabalhador.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.