Precisa: além da habilitação exigida pelo Código de Trânsito para condução de veículo de emergência, há exigência de capacitação específica na regulamentação do atendimento móvel.
A documentação do condutor é item de inspeção.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria de Consolidação GM/MS nº 3, de 28 de setembro de 2017 — Ministério da Saúde.
Consolidação das normas sobre as redes do Sistema Único de Saúde, incluindo a Rede de Atenção às Urgências e as regras do atendimento móvel de urgência e do transporte de pacientes (classificação dos veículos, equipe e equipamentos).
Consultar no site oficial -
Lei federal nº 9.503, de 23 de setembro de 1997 (Código de Trânsito Brasileiro) — Congresso Nacional.
Institui o Código de Trânsito Brasileiro; o art. 145 exige, para conduzir veículo destinado ao transporte de emergência, habilitação na categoria correspondente e aprovação em curso especializado.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.