Precisa, com leitura em intervalos definidos e registro conservado. Termômetro com indicação de temperatura máxima e mínima é o padrão.
O registro é o que comprova a conservação — sem ele, não há como demonstrar que a vacina aplicada estava íntegra.
Fontes oficiais desta resposta
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RDC Anvisa nº 63, de 25 de novembro de 2011 — Anvisa.
Dispõe sobre os requisitos de boas práticas de funcionamento para os serviços de saúde.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.