Varia: pode ser a secretaria de finanças, a de urbanismo, a de desenvolvimento econômico ou um departamento específico de licenciamento. Em muitos municípios o processo é inteiramente on-line.
O caminho mais rápido é procurar o portal de serviços da prefeitura pelo termo "alvará de funcionamento" ou "licenciamento de atividades" e conferir o fluxo local.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei Complementar federal nº 123, de 14 de dezembro de 2006 — Congresso Nacional.
Estatuto Nacional da Microempresa e da Empresa de Pequeno Porte; o art. 55 trata dos critérios de fiscalização e licenciamento.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.