Normalmente a área técnica ou de assuntos regulatórios, com apoio do responsável técnico. Em empresas menores, costuma ser o próprio responsável técnico com assessoria externa.
O essencial é ter alguém acompanhando as atualizações e os prazos junto à Anvisa.
Fontes oficiais desta resposta
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RDC Anvisa nº 16, de 1º de abril de 2014 — Anvisa.
Critérios para peticionamento de Autorização de Funcionamento (AFE) e Autorização Especial (AE) de empresas.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.