Pela consulta pública no portal do CNES, buscando pelo CNPJ, pelo nome do estabelecimento ou pelo município. O número aparece na ficha do estabelecimento.
Se a clínica não aparece, provavelmente não foi cadastrada — situação mais comum do que se imagina em clínicas que atendem só particular.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria GM/MS nº 1.646, de 2 de outubro de 2015 — Ministério da Saúde.
Institui o Cadastro Nacional de Estabelecimentos de Saúde (CNES).
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.