Do próprio estabelecimento. O art. 364 da Portaria de Consolidação nº 1/2017 atribui a cada estabelecimento de saúde a responsabilidade pelo cadastramento e pela manutenção dos dados cadastrais no CNES.
O gestor municipal de saúde tem o papel de validar e acompanhar o cadastro, mas não o de fazê-lo por você. Esperar que "a prefeitura cadastre" é motivo comum de estabelecimento sem CNES.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria de Consolidação nº 1, de 28 de setembro de 2017 — Ministério da Saúde.
Consolida as normas sobre os direitos e deveres dos usuários da saúde, a organização e o funcionamento do SUS; o art. 364 atribui a cada estabelecimento a responsabilidade pelo cadastro e pela manutenção dos dados no CNES.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.