Quando há pessoa jurídica prestando o serviço, ela precisa de inscrição própria, por força da Lei 6.839/1980. Quando o profissional atua como pessoa física, o registro que vale é o pessoal dele.
Consulte o conselho da sua categoria sobre as regras aplicáveis à sua configuração.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei federal nº 6.839, de 30 de outubro de 1980 — Congresso Nacional.
Torna obrigatório o registro de empresas e a anotação dos profissionais nas entidades fiscalizadoras do exercício das profissões, em razão da atividade básica.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.