A LGPD prevê a figura do encarregado como canal de comunicação entre o controlador, os titulares e a autoridade nacional. A aplicação a pequenos agentes de tratamento é objeto de regulamentação específica da autoridade.
Independentemente da obrigatoriedade formal, ter alguém responsável por privacidade evita que o assunto fique sem dono.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei federal nº 13.709, de 14 de agosto de 2018 (LGPD) — Congresso Nacional.
Lei Geral de Proteção de Dados Pessoais; classifica dado referente à saúde como dado pessoal sensível (art. 5º, II).
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.