Precisa. A área de manipulação precisa de lavatório exclusivo para higiene das mãos, com sabonete líquido, produto antisséptico quando aplicável e papel toalha não reciclado.
Lavar as mãos na mesma pia usada para alimentos é não conformidade clássica.
Fontes oficiais desta resposta
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RDC Anvisa nº 216, de 15 de setembro de 2004 — Anvisa.
Regulamento técnico de boas práticas para serviços de alimentação.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.