Não. As exigências sanitárias e o CNES independem da forma de pagamento ou de haver contrato com o SUS.
A RDC 786/2023 se aplica pela atividade exercida, e o CNES é obrigatório para todos os estabelecimentos de saúde, públicos ou privados, com ou sem contrato com o SUS.
Fontes oficiais desta resposta
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RDC Anvisa nº 786, de 5 de maio de 2023 — Anvisa.
Requisitos técnico-sanitários para o funcionamento de laboratórios clínicos, laboratórios de anatomia patológica e outros serviços que executam atividades relacionadas a exames de análises clínicas. Em vigor desde 1º de agosto de 2023; substituiu a RDC 302/2005.
Consultar no site oficial -
Portaria de Consolidação nº 1, de 28 de setembro de 2017 — Ministério da Saúde.
Consolida as normas sobre os direitos e deveres dos usuários da saúde, a organização e o funcionamento do SUS; o art. 364 atribui a cada estabelecimento a responsabilidade pelo cadastro e pela manutenção dos dados no CNES.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.