Não. A inscrição municipal é o cadastro da empresa como contribuinte do município, ligado ao ISS. O alvará é a autorização para funcionar naquele endereço.
As duas coisas costumam ser providenciadas na abertura da empresa e são exigidas em conjunto, mas têm naturezas diferentes: uma é tributária, a outra é de polícia administrativa.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei Complementar federal nº 123, de 14 de dezembro de 2006 — Congresso Nacional.
Estatuto Nacional da Microempresa e da Empresa de Pequeno Porte; o art. 55 trata dos critérios de fiscalização e licenciamento.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.