A alteração é feita no contrato social e registrada na Junta Comercial (ou no Cartório de Registro Civil de Pessoas Jurídicas, conforme o tipo de sociedade), com o consequente reflexo no CNPJ.
Depois disso, a mudança precisa chegar à Vigilância: alteração de atividade implica novos procedimentos de licenciamento. Também é prudente conferir se o novo CNAE é permitido pelo zoneamento do endereço antes de fazer a alteração.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria CVS nº 1, de 5 de janeiro de 2024 — Centro de Vigilância Sanitária – Secretaria de Estado da Saúde de São Paulo.
Disciplina, no âmbito do Sistema Estadual de Vigilância Sanitária (Sevisa), o licenciamento sanitário dos estabelecimentos de interesse da saúde e das fontes de radiação ionizante. Texto atualizado integralmente em 17/09/2024. Anexo I: atividades e classificação de risco; Anexo IV: relação de documentos.
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Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.