Precisa. Os diretores técnicos das empresas, instituições, entidades ou estabelecimentos inscritos nos Conselhos Regionais de Medicina devem, obrigatoriamente, ser médicos.
É ele quem responde perante o Conselho pelas condições técnicas de atendimento do estabelecimento.
Fontes oficiais desta resposta
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Resolução CFM nº 1.980/2011 — Conselho Federal de Medicina.
Disciplina a inscrição de pessoas jurídicas nos Conselhos Regionais de Medicina e a figura do diretor técnico médico.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.