O critério da Lei 6.839/1980 é a atividade básica da empresa, ou aquela pela qual ela presta serviços a terceiros. É isso que define o conselho competente.
Na prática, clínicas multidisciplinares frequentemente precisam de inscrição em mais de um conselho, conforme os serviços efetivamente prestados e as regras de cada entidade. Vale consultar cada conselho antes de decidir.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei federal nº 6.839, de 30 de outubro de 1980 — Congresso Nacional.
Torna obrigatório o registro de empresas e a anotação dos profissionais nas entidades fiscalizadoras do exercício das profissões, em razão da atividade básica.
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Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.