Sim. A obrigação alcança estabelecimentos de natureza pública ou privada.
Há uma regra própria para a gestão por terceiros: o estabelecimento público que exerce atividade de interesse da saúde sob gestão de pessoa jurídica de direito público ou privado — organização social, por exemplo — deve ser licenciado em nome do serviço público contratante, no endereço onde as atividades são prestadas. Já a atividade terceirizada pela entidade gestora tem licença emitida com o CNPJ do terceirizado.
Fontes oficiais desta resposta
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Portaria CVS nº 1, de 5 de janeiro de 2024 — Centro de Vigilância Sanitária – Secretaria de Estado da Saúde de São Paulo.
Disciplina, no âmbito do Sistema Estadual de Vigilância Sanitária (Sevisa), o licenciamento sanitário dos estabelecimentos de interesse da saúde e das fontes de radiação ionizante. Texto atualizado integralmente em 17/09/2024. Anexo I: atividades e classificação de risco; Anexo IV: relação de documentos.
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Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.