Não basta. O registro pessoal habilita a pessoa a exercer a profissão. A empresa é pessoa jurídica distinta e precisa da sua própria inscrição.
É exatamente isso que a Lei 6.839/1980 determina: o registro da empresa é obrigatório e vem acompanhado da anotação do profissional responsável por ela.
Fontes oficiais desta resposta
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Lei federal nº 6.839, de 30 de outubro de 1980 — Congresso Nacional.
Torna obrigatório o registro de empresas e a anotação dos profissionais nas entidades fiscalizadoras do exercício das profissões, em razão da atividade básica.
Consultar no site oficial -
Resolução CFM nº 1.980/2011 — Conselho Federal de Medicina.
Disciplina a inscrição de pessoas jurídicas nos Conselhos Regionais de Medicina e a figura do diretor técnico médico.
Consultar no site oficial
Vale para o seu caso?
Esta resposta explica a regra geral. Exigência sanitária depende do CNAE, do município e do que a clínica realmente faz — por isso a mesma pergunta pode ter respostas diferentes em duas cidades. Conte a sua situação e dizemos o que se aplica a você.